Вычисление обратной матрицы

Матрица  называется обратной по отношению к квадратной матрице А, если A cdot {A^{ - 1}} = {A^{ - 1}} cdot A = E 

Обратная матрица  существует (и единственна) тогда и только тогда, когда определитель исходной матрицы А отличен от нуля left| A right| ne 0. Такая матрица left| A right| ne 0 называется невырожденной или не особенной, в противном случае left| A right| = 0– вырожденной или особенной.

Алгоритм вычисления обратной матрицы

  1. Находим определитель исходной матрицы. Если left| A right| ne 0 , то {A^{ - 1}} существует.
  2. Находим транспонированную матрицу {A^T}.
  3. Находим алгебраические дополнения элементов транспонированной матрицы  {A'_{ij}} = {A_{ji}} и составляем из них присоединённую матрицу tilde A = ({tilde a_{ij}}), где  {tilde a_{ij}} = {A'_{ij}} = {A_{ji}} (i,j=1,…,n).
  4. Вычисляем обратную матрицу по формуле {A^{ - 1}} = frac{1}{{left| A right|}} cdot tilde A где  left| A right| ne 0 .
  5. Проверяем правильность вычисления обратной матрицы {A^{ - 1}} , исходя из определения A cdot {A^{ - 1}} = {A^{ - 1}} cdot A = E.

 Пример:

Задача: Найти матрицу обратную к матрице  A = left( {begin{array}{ccccccccccccccc}2&4&5\3&2&{ - 1}\1&{ - 3}&{ - 2}end{array}} right)

Решение:

1.   left| A right| = left| {begin{array}{ccccccccccccccc}

2&4&5\

3&2&{ - 1}\

1&{ - 3}&{ - 2}

end{array}} right| = left( {begin{array}{ccccccccccccccc}

2&4&5&2&4\

3&2&{ - 1}&3&2\

1&{ - 3}&{ - 2}&1&{ - 3}

end{array}} right) =

 = 2 cdot 2 cdot ( - 2) + 4 cdot ( - 1) cdot 1 + 5 cdot 3 cdot ( - 3) - 5 cdot 2 cdot 1 - 2 cdot ( - 1) cdot ( - 3) - 4 cdot 3 cdot ( - 2) =  - 49 ne 0.

Следовательно {A^{ - 1}} ,  существует.

2.    A' = left( {begin{array}{ccccccccccccccc}

2&3&1\

4&2&{ - 3}\

5&{ - 1}&{ - 2}

end{array}} right)

3.   {A'_{11}} = left| {begin{array}{ccccccccccccccc}

2&{ - 3}\

{ - 1}&{ - 2}

end{array}} right| =  - 7      {A'_{12}} =  - left| {begin{array}{ccccccccccccccc}

4&{ - 3}\

5&{ - 2}

end{array}} right| =  - 7      {A'_{13}} = left| {begin{array}{ccccccccccccccc}

4&2\

5&{ - 1}

end{array}} right| =  - 14

{A'_{21}} =  - left| {begin{array}{ccccccccccccccc}

3&1\

{ - 1}&{ - 2}

end{array}} right| = 5       {A'_{22}} = left| {begin{array}{ccccccccccccccc}

2&1\

5&{ - 2}

end{array}} right| =  - 9           {A'_{23}} =  - left| {begin{array}{ccccccccccccccc}

2&3\

5&{ - 1}

end{array}} right| = 17

{A'_{31}} = left| {begin{array}{ccccccccccccccc}

3&1\

2&{ - 3}

end{array}} right| =  - 11         {A'_{32}} =  - left| {begin{array}{ccccccccccccccc}

2&1\

4&{ - 3}

end{array}} right| = 10          {A'_{33}} = left| {begin{array}{ccccccccccccccc}

2&3\

4&2

end{array}} right| =  - 8

Т.е. присоединённая матрица имеет вид:    tilde A = left( {begin{array}{ccccccccccccccc}

{ - 7}&{ - 7}&{ - 14}\

5&{ - 9}&{17}\

{ - 11}&{10}&{ - 8}

end{array}} right)

Читайте также:  Линейное программирование

4. Выписываем обратную матрицу по формуле:

    [{A^{ - 1}} = - frac{1}{{49}}left( {begin{array}{*{20}{c}} { - 7}&{ - 7}&{ - 14}\ 5&{ - 9}&{17}\ { - 11}&{10}&{ - 8} end{array}} right) = left( {begin{array}{*{20}{c}} {frac{1}{7}}&{frac{1}{7}}&{frac{2}{7}}\ { - frac{5}{{49}}}&{frac{9}{{49}}}&{ - frac{{17}}{{49}}}\ {frac{{11}}{{49}}}&{ - frac{{10}}{{49}}}&{frac{8}{{49}}} end{array}} right)]

Полученная обратная матрица имеет вид:

    [{A^{ - 1}} = left( {begin{array}{*{20}{c}} {frac{1}{7}}&{frac{1}{7}}&{frac{2}{7}}\ { - frac{5}{{49}}}&{frac{9}{{49}}}&{ - frac{{17}}{{49}}}\ {frac{{11}}{{49}}}&{ - frac{{10}}{{49}}}&{frac{8}{{49}}} end{array}} right).]

Вычисление обратной матрицы в MS Excel

Работу с матричной функцией МОБР в MS Excel следует выполнять в следующем порядке:

  • Задать исходную матрицу.
  • Отметить место для матрицы-результата.

Теперь найдем матричное выражение: Y=(FH-1)/29+K. Посчитаем определитель полученной матрицы. Поиск решения разобьем на ряд шагов:

  • Найдем матрицу обратную к матрице Н.
  • Умножим матрицы и H-1.
  • Результат поделим на 29.
  • Сложим полученную матрицу с матрицей К.
  • Найдем определитель полученной матрицы.

Обратиться к мастеру функций, найти функцию МОБР и выполнить постановку задачи.

Завершить выполнение работы одновременным нажатием клавиш Shift/Ctrl/Enter

 

Завершить выполнение работы одновременным нажатием клавиш Shift/Ctrl/Enter
1 Звезда2 Звезды3 Звезды4 Звезды5 Звезд (Пока оценок нет)
Загрузка...