Решим задачу за 30 минут!
Опубликуй вопрос и получи ответ со скидкой 20% по промокоду helpstat20

Вычислить числовые характеристики выборки: x , s2 , s , V , Sk , Ex , Me, Mo.
2. Сделать предварительную проверку выборки на нормальность распределения.
3. Построить эмпирическую функцию распределения, гистограмму и полигон частот.
n 35
176; 122; 150; 181; 131; 138; 125; 151; 189; 130; 153; 130; 132; 123; 157; 119; 123; 114; 118; 146; 132; 130; 136; 153; 153; 151; 151; 165; 134; 126; 127; 159; 157; 157; 128.

Решение:

Вычислить числовые характеристики выборки: x , s2 , s , V , Sk , Ex , Me, Mo.
При больших объемах выборки (в нашем примере n=35) целесообразно перейти к интервальному статистическому ряду, так как простая статистическая совокупность перестает быть удобной формой записи статистического материала – она становится громоздкой и мало наглядной.
Интервальный статистический ряд величины X
n=35, xmax=189, xmin=114
Количество интервалов:
k=35≈6
Длина интервала:
h=xmax-xmink=189-1146=756=12,5
Промежуточные интервалы получают, прибавляя к концу предыдущего интервала длину интервала h.
Интервальный вариационный ряд
xi*=xi+xi+12 – середина интервала
wi=nin – относительная частота
Интервальный ряд
Интервал Частота
ni
Относительная частота
wi=nin
Середина интервала
xi*

Плотность частоты
wih

114; 126,5)
8 0,229 120,25 0,018
126,5; 139)
11 0,314 132,75 0,025
139; 151,5)
5 0,143 145,25 0,011
151,5; 164)
7 0,200 157,75 0,016
164; 176,5)
2 0,057 170,25 0,005
176,5; 189)
2 0,057 182,75 0,005

Сумма 35 1,000

Вычислим числовые характеристики выборки, для этого составим расчетную таблицу.
xi*
ni
nixi*
xi*-xв
(xi*-xв)2
ni(xi*-xв)2
 ni(xi*-xв)3
 ni(xi*-xв)4
120,25 8 962 -21,43 459,245 3673,959 -78732,946 1687247,025
132,75 11 1460,25 -8,93 79,745 877,1939 -7833,342 69951,740
145,25 5 726,25 3,57 12,745 63,7245 227,496 812,162
157,75 7 1104,25 16,07 258,245 1807,714 29049,969 466832,999
170,25 2 340,5 28,57 816,245 1632,49 46640,234 1332511,474
182,75 2 365,5 41,07 1686,745 3373,49 138549,226 5690216,715
Сумма 35 4958,75

11428,57 127900,638 9247572,115

Несмещенной оценкой генеральной средней (математического ожидания) служит выборочная средняя:
xв=i=1knixin
Выборочная дисперсия:
Dв=i=1kni(xi-xв)2n
Несмещенной оценкой генеральной дисперсии служит исправленная выборочная дисперсия:
S2=nn-1*Dв=ni(xi-xв)2n-1
xв=i=1knixi*n=4958,7535=141,6786≈141,68
Dв=i=1kni(xi*-xв)2n=11428,5735=326,53
Выборочное среднее квадратическое отклонение:
σв=Dв=326,53≈18,07
S2=nn-1*Dв=ni(xi*-xв)2n-1=11428,5735=336,1345≈336,13
Исправленное выборочное среднее квадратическое отклонение:
S=S2=336,13≈18,33
Коэффициент вариации:
V=σx*100%=18,07141,68*100%=12,75
Так как коэффициент вариации не превышает 33%, это говорит об однородности совокупности.

Асимметрия и эксцесс эмпирического распределения определяется соответственно равенствами:
Sk=m3/σ3
Ex=m4σ4-3
здесь σ – выборочное среднее квадратическое отклонение; m3 и m4 – центральные эмпирические моменты третьего и четвертого порядков.
m3=(nixi*-x3)/n
m4=(nixi*-x4)/n
m3=127900,63835=3654,3
Sk=m3σ3=3654,318,073=3654,35900,46=0,619
m4=9247572,11535=264216,35
Ex=m4σ4-3=264216,35106622,2-3=2,478-3=-0,522
Оценка существенности показателя асимметрии дается с помощью средней квадратической ошибки коэффициента асимметрии:
SSk=6(n-2)n+1(n+3)=6*3336*38=1981368=0,1447≈0,38
Если выполняется соотношение SkSSk<3, то асимметрия несущественная.
SkSSk=0,6190,38=1,63<3
Следовательно, асимметрия несущественная.
Чтобы оценить существенность эксцесса рассчитывают статистику ExSEx, где SEx – средняя квадратическая ошибка коэффициента эксцесса.
SEx=24nn-2(n-3)n+12n+3(n+5)=24*35*31*32362*38*40=8332801969920=0,423≈0,65
ExSEx=-0,5220,65=0,8<3
Следовательно, отклонение от нормального распределения считается несущественным.
Найдем моду и медиану.
Определение моды в интервальном вариационном ряду
Mo=xmo+if2-f1f2-f1+(f2-f3)
xmo – нижняя граница модального интервала;
i – разность между верхней и нижней границей модального интервала;
f1 – частота интервала, предшествующая модальному;
f2 – частота модального интервала;
f3 – частота интервала, следующего за модальным
Mo=xmo+if2-f1f2-f1+(f2-f3)=126,5+12,5*11-811-8+(11-5)=126,5+12,5*13≈130,67
Расчет медианы интервального ряда
Me=xo+if2-S(m-1)fm
xo – нижняя граница медианного интервала;
i – величина медианного интервала;
f – сумма частот интервального ряда;
S(m-1) – сумма накопленных частот в интервалах, предшествующих медианному;
fm – частота медианного интервала.
Me=xo+if2-S(m-1)fm=126,5+12,5*352-811=126,5+12,5*0,86=137,3
Построить эмпирическую функцию распределения, гистограмму и полигон частот.
xi*
ni
120,25 8
132,75 11
145,25 5
157,75 7
170,25 2
182,75 2
Сумма 35

Объем выборки n=35.
Наименьшая варианта равна 120,25, поэтому F*(x)=0 при x≤120,25.
Значение X<132,75, а именно x1=120,25 наблюдалось 8 раз, следовательно, F*(x)=8/35=0,229 при 120,25<x≤132,75.
Значения x<145,25, а именно x1=120,25 и x2=132,75, наблюдались 8+11=19 раз, следовательно, F*(x)=19/35=0,543 при 132,75<x≤145,25.
Значения x<157,75, а именно x1=120,25, x2=132,75 и x3=145,25, наблюдались 8+11+5=24 раза, следовательно, F*(x)=24/35=0,686 при 145,25<x≤157,75.
Значения x<170,25, а именно x1=120,25, x2=132,75, x3=145,25, x4=157,75 наблюдались 8+11+5+7=31 раз, следовательно, F*(x)=31/35=0,886 при 157,75<x≤170,25.
Значения x<182,75, а именно x1=120,25, x2=132,75, x3=145,25, x4=157,75, x5=170,25 наблюдались 8+11+5+7+2=33 раза, следовательно, F*(x)=33/35=0,943 при 170,25<x≤182,75.
Так как x=182,75 наибольшая варианта, то F*(x)=1 при x>182,75.
Искомая эмпирическая функция:
F*(x)=0, x≤120,25;0,229, 120,25<x≤132,75;0,543, 132,75<x≤145,25;0,686, 145,25<x≤157,75;0,886, 157,75<x≤170,25;0,943, 170,25<x≤182,75;1, x>182,75

График этой функции:
F*(x)

   

1                  
0,943              

0,886              

   

     

 

     

   

     

0,686              

   

       

   

       

0,543              

 
         

 
         

 
         

 
         

 
         

 
         

0,229              

             

             

             

                     
0   120,25 132,75 145,25 157,75 170,25 182,75

x

Гистограммой относительных частот называют ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников, основаниями которых служат частичные интервалы длины h, а высоты равны отношению wi/h (плотность относительной частоты). Площадь частичного i-гo прямоугольника равна hwih=wi—относительной частоте вариант, попавших в i-й интервал. Площадь гистограммы относительных частот равна сумме всех относительных частот, т. е. единице.
Построим на оси абсцисс данные частичные интервалы. Проведем над этими интервалами отрезки, параллельные оси абсцисс и находящиеся от нее на расстояниях, равных соответствующим плотностям относительной частоты. Например, над интервалом 114-126,5 проведем отрезок, параллельный оси абсцисс и находящийся от нее на расстоянии, равном 0,018; аналогично строят остальные отрезки.

Гистограмма немного асимметрична, но по ее виду можно сделать предположение, что совокупность распределена по нормальному закону.
Полигоном относительных частот называют ломаную, отрезки которой соединяют точки (x1;w1), (x2;w2), … , (xk;wk), где xi – варианты выборки иwi—соответствующие им относительные частоты.
Отложим на оси абсцисс варианты xi, а на оси ординат – соответствующие относительные частоты. Соединив точки (xi;wi) отрезками прямых, получим искомый полигон относительных частот.

5.0
mic94
У меня два высших образования - ТГУ и Международная Академия Пред принимательства. Уже 15 лет я занимаюсь выполнением студенческих работ по различным дисциплинам - юриспруденция, экономика, статистика, математика, финансы, налогообложение