Вычислить интегралы от функции комплексного переменного: а) z+1=9z5sinizdz; б)z=3z-1z3+1dz

Вычислить интегралы от функции комплексного переменного: а) z+1=9z5sinizdz; б)z=3z-1z3+1dz
а) z+1=9z5sinizdz
Поскольку функция является аналитической, то найдем точки, где функция не определена. Это точка z1=0. Исследуем поведение функции в окрестности точки. Так как
limz→zkf(z)=limz→0zsin3z3→∞=0
То есть точка z1=0 является устранимой особой точкой, так как существует конечный предел. Таким образом, вычет равен нулю.
f(z)dz=2πik=1nresf(zk)=2πi∙0=0
б)z=3z-1z3+1dz
Контур в данном случае представляет окружность радиуса 3 с центром в точке z0=0, а область – внутренняя часть этой окружности.
Особыми точками подынтегральной функции z-1z3+1являются нули знаменателя – корни уравнения z3+1=0, то есть точки   z1=-1; z2=12+32i; z3=12-32i
В область попадают все три точки. Согласно теореме Коши о вычетах:
f(z)dz=2πik=1nresf(zk)
z=3z-1z3+1dz=2πiresf-1+resf12+32i+resf12-32i
Для исходной функции точки являются полюсами первого порядка.
resf(z0)=limz→z0(fz∙z-z0)
Сумма вычетов этой функции во всех особых точках и вычета в бесконечности равна нулю.
Таким образом, искомый интеграл равен:
z=3z-1z3+1dz=2πi∙0=0

1 Звезда2 Звезды3 Звезды4 Звезды5 Звезд (Пока оценок нет)
Загрузка...