Вычислить приближенное значение интеграла 1,32,9e-0,1xdx, используя квадратурные формулы а) центральных прямоугольников с шагом h=0.4; б) трапеций с шагом h=0.4 и h=0.2; оценить погрешность по формуле Рунге и уточнить последний результат по Рунге; в) Симпсона с шагом h=0.4
Вариант 25.
1,32,9e-0,1xdx
Решение:
а) центральных прямоугольников с шагом h=0.4;
Формула средних прямоугольников. Это самая простая квадратурная формула вычисления интеграла, в которой используется одно значение функции:h = b – a = 2.9-1.3 = 1.6f(c) = 0.954Остаточный член квадратурной формулы:Найдем максимальное значение второй производной функции на интервале [1.3;2.9].y = ((-0.2+0.01/x)*exp(-0.1/x))/x3[1.3;2.9]Находим первую производную функции:илиПриравниваем ее к нулю:x1 = 0.0211×2 = 0.0789Вычисляем значения функции на концах отрезкаf(0.0211) = 254.996f(0.0789) = -41.994f(1.3) = -0.0810511780611950f(2.9) = -0.00778587079279084Ответ:fmin = -0.0811, fmax = -0.00779
б) трапеций с шагом h=0.4 и h=0.2
Формула трапеций:
i
xi
yi
0 1.3 0.926
1 1.7 0.9429
2 2.1 0.9535
3 2.5 0.9608
4 2.9 0.9661
Остаточный член квадратурной формулы:Найдем максимальное значение второй производной функции на интервале [1.3;2.9].y = ((-0.2+0.01/x)*exp(-0.1/x))/x3[1.3;2.9]Находим первую производную функции:
илиПриравниваем ее к нулю:x1 = 0.0211×2 = 0.0789Вычисляем значения функции на концах отрезкаf(0.0211) = 254.996f(0.0789) = -41.994f(1.3) = -0.0810511780611950f(2.9) = -0.00778587079279084Ответ:fmin = -0.0811, fmax = -0.00779Таким образом, I = 1.521 ± 0.000166
Формула трапеций:
i
xi
yi
0 1.3 0.926
1 1.5 0.9355
2 1.7 0.9429
3 1.9 0.9487
4 2.1 0.9535
5 2.3 0.9575
6 2.5 0.9608
7 2.7 0.9636
8 2.9 0.9661
Остаточный член квадратурной формулы:Найдем максимальное значение второй производной функции на интервале [1.3;2.9].y = ((-0.2+0.01/x)*exp(-0.1/x))/x3[1.3;2.9]Находим первую производную функции:илиПриравниваем ее к нулю:x1 = 0.0211×2 = 0.0789Вычисляем значения функции на концах отрезкаf(0.0211) = 254.996f(0.0789) = -41.994f(1.3) = -0.0810511780611950f(2.9) = -0.00778587079279084Ответ:fmin = -0.0811, fmax = -0.00779Таким образом, I = 1.522 ± 4.2E-5
в) Симпсона с шагом h=0.4
Формула Симпсона основана на замене подынтегральной функции f(x) на отрезке [a, b] дугой параболы, т.е. функция f(x) аппроксимируется параболой вида: P(x)=αx2 + βx + γ.Элементарная формула Симпсона:Остаточный член квадратурной формулы:Найдем максимальное значение четвертой производной функции на интервале [1.3;2.9].y = ((-2.4+0.36/x-0.012/x^2+0.0001/x^3)*exp(-0.1/x))/x^5[1.3;2.9]Находим первую производную функции:Приравниваем ее к нулю:Найдем корни уравнения:((12×4-2.4×3+0.12×2-0.002x+10-5)*e-0.1/x)/x10 = 0ε = 0.01Используем для этого Метод половинного деления (метод дихотомии)..Считаем, что отделение корней произведено и на интервале [a,b] расположен один корень, который необходимо уточнить с погрешностью ε.Итак, имеем f(a)f(b)<0. Метод дихотомии заключается в следующем.Определяем половину отрезка c=1/2(a+b) и вычисляем f(c). Проверяем следующие условия:1. Если |f(c)| < ε, то c – корень. Здесь ε – заданная точность.2. Если f(c)f(a)<0, то корень лежит в интервале [a,c].3. Если f(c)f(b)<0, то корень лежит на отрезке[c,b].Продолжая процесс половинного деления в выбранных подынтервалов, можно дойти до сколь угодно малого отрезка, содержащего корень ξ.Так как за каждую итерацию интервал, где расположен корень уменьшается в два раза, то через n итераций интервал будет равен:bn-an=1/2n(b-a)В качестве корня ξ. возьмем 1/2(an+bn). Тогда погрешность определения корня будет равна (bn – an)/2. Если выполняется условие:(bn – an)/2 < εто процесс поиска заканчивается и ξ = 1/2(an+bn).Решение.Число шагов, необходимых для достижения заданной точности определяется неравенством:Уточним интервалы, в которых будут находиться корни уравнения. Для этого исходный интервал [1.3;2.9] разобьем на 40 подынтервалов.f(2.86) = 0.0197, f(2.9) = 0.0182В данном интервале [1.3; 2.9] нет корней (0.0197*0.0182 > 0), либо необходимо увеличить количество интервалов n.Глобальных экстремумов нетНаходим стационарные точки:Вычисляем значения функции на концах отрезкаf(1.3) = -0.531229870394715f(2.9) = -0.0107263433360616Ответ:Имеются только локальные экстремумы (на заданном интервале)fmin = -0.531, fmax = -0.0107Таким образом, I = 1.522 ± 3.9E-5
