Вычислить собственные значения и собственные векторы

Вычислить собственные значения и собственные векторы:
5445
242046003
12110111200013
Решение.
1) 5445
Составим характеристическое уравнение.
A-λE=5-λ445-λ
∆=5-λ2-16
25-10λ+λ2-16=0
λ2-10λ+9=0
Собственные значения:
λ1=9
λ2=1
При λ1=9
5-λ445-λ=-444-4
Собственный вектор, отвечающий числу λ1=9, x1=1
x1=1;1
При λ2=1
5-λ445-λ=4444
Собственный вектор, отвечающий числу λ2=1, x1=-1
x2=1;-1

2)242046003
Составим характеристическое уравнение.
A-λE=2-λ4204-λ6003-λ
∆=2-λ4204-λ6003-λ=2-λ4-λ3-λ
2-λ4-λ3-λ=0
Собственные значения:
λ1=2
λ2=4
λ3=3
При λ1=2
2-24204-26003-2=042026001
Отсюда следует, что ранг матрицы равен 3 и равен числу неизвестных. Значит, система не имеет свободных неизвестных, а поэтому имеет единственное решение — тривиальное (все переменные равны нулю).
При λ2=4
2-44204-46003-4=-242006001
Методом исключения неизвестных находим нетривиальное решение:
Получили соотношения, выражающие зависимые переменные y, zчерез свободные x, то есть нашли общее решение:
Множество собственных вектором: 2x;x;0x=x2;1;0
При λ3=3
2-34204-36003-3=-142016000
Решаем систему:
-x+4y+2z=0y=-6zz-параметр
x=-22z
Множество собственных векторов: -22z; -6z;z

3) 12110111200013
Составим характеристическое уравнение.
A-λE=12-λ1101112-λ00013-λ
∆=13-λ12-λ111112-λ=13-λ12-λ12-λ-121
13-λ12-λ12-λ-121 =0
Собственные значения:
λ1=13
λ2=1
λ3=23
При λ1=13
12-λ1101112-λ00013-λ=-111011-10000
-111011-10000~-111001200000
-x+11y=0120y=0
Методом исключения неизвестных находим нетривиальное решение:
Получили соотношения, выражающие зависимые переменные y, x через свободные z, то есть нашли общее решение:
Множество собственных векторов при λ=13: z0;0;1

Читайте также:  Решите неравенство -x2+2x+8+sinπx2≥4

При λ2=1
12-λ1101112-λ00013-λ=11110111100012
11110111100012~111100000012
11x=-11y12z=0
x=-y
z=0
Методом исключения неизвестных находим нетривиальное решение:
Получили соотношения, выражающие зависимые переменные y, z через свободные x, то есть нашли общее решение:
Множество собственных векторов при λ=1: x-1;1;0

При λ3=23
12-λ1101112-λ00013-λ=-1111011-110002
-1111011-110002=-11110000002
11x=11y2z=0
x=y
z=0
Методом исключения неизвестных находим нетривиальное решение:
Получили соотношения, выражающие зависимые переменные y, z через свободные x, то есть нашли общее решение:
Множество собственных векторов при λ=1: x1;1;0

531-2239-6359-1770-7618372

1 Звезда2 Звезды3 Звезды4 Звезды5 Звезд (Пока оценок нет)
Загрузка...