Вычислить среднюю арифметическую, среднюю квадратическую, среднюю геометрическую, среднюю гармоническую (

Средние величины в статистике

Исходные данные. Численность персонала предприятий и данные из ряда распределения из задачи 1 (табл. 1.3).
Задание: Для оценки выборочной средней S численности персонала предприятий, для оценки свойств средних и для определения предельной ошибки и доверительного интервала генеральной средней S :
вычислить среднюю арифметическую, среднюю квадратическую, среднюю геометрическую, среднюю гармоническую (среднюю взвешенную по сгруппированным данным из табл. 1.3).
по сгруппированным данным (табл. 1.3) вычислить моду (Мо) и медиану (Ме).
вычислить дисперсию, среднюю μ и предельную Δ ошибки выборочной средней S
Решение:
2.1 Вычисление степенных средних
Дополним таблицу 1.3 необходимыми графами и рассчитаем средние.
Таблица 1.3.2. – данные для расчета средних
S инт. 40 – 84 84 – 128 128 – 172 172 – 216 Σ
Середина интервала, Si
62 106 150 194 —
Частота fi
10 5 2 3 20
Sifi
620 530 300 582 2032
Si2fi
38440 56180 45000 112908 252528
Sifi
6210
1065
1502
1943
1,845⋅1039
fiSi
0,1613 0,0472 0,0133 0,0155 0,2373
Рассчитаем среднюю арифметическую взвешенную по формуле:
Sар=Sififi=203220=102 чел.
Среднюю квадратическую взвешенную определим по формуле:
Sкв=Si2fifi=25252820=112 чел.
Среднюю геометрическую взвешенную определим по формуле:
Sгеом=ni=1nSifi=201,845⋅1039=92 чел.
Определим среднюю гармоническую по формуле:
Sгарм=fifiSi =200,2373=84 чел.
Проверим выполнение правила мажорантности:
Sкв>Sар>Sгеом>Sгарм
112>102>92>84
Соотношение выполняется, следовательно, расчеты произведены верно. Средняя численность персонала на одном предприятии составила 102 человека.
Вычисление структурных средних
Мода – это наиболее часто повторяющееся значение признака в совокупности. В интервальном ряду мода рассчитывается по формуле:
Mo=SMo+h∙fMo-fMo-1fMo-fMo-1+(fMo-fMo+1)
где: SMo — левая или нижняя граница модального интервала;
h — шаг или величина интервала;
fMo — частота модального интервала;
fMo-1 — частота предшествующего интервала;
fMo+1 — частота последующего интервала.
Модальным интервалом заданного распределения (табл. 1.3) является интервал (40 – 84), имеющий наибольшую частоту, равную 10:
Mo=40+40∙10-010-0+10-5≈67 чел.
Графически мода определяется с помощью гистограммы.
146304013563600567690792480005676907924800
Рис. 2.1 – графическое определение моды
Медиана – значение, делящее ранжированный ряд пополам. В интервальном ряду медиана рассчитывается по формуле:
Me=SMe+h∙NMe-FMe-1fMe
где: SMe – левая или нижняя граница медианного интервала (по кумуляте Fi );
h — шаг или величина интервала;
NMe — порядковый номер медианы в ранжированном ряду NMe=fi2=n2
FMe-1 — кумулята предшествующего интервала;
fMe — частота медианного интервала.
Медианным интервалом (табл. 1.3) является интервал (84 – 128) с накопленной частотой, равно 15 и превышающей половину выборки
Me=84+40∙10-105=84 чел.
Для графического определения медианы используют кумуляту.
2148840236601018630902242185Ме
Ме
250126510896605867401032510
Рис. 2.2 Графическое определение медианы
Таким образом, наиболее вероятная численность работников одного предприятия составляет 67 чел.
Медиана указывает на то, что численность работников половины предприятий не превышает 84 человека, а другой половины – не меньше 84 человек.
2.3. Дисперсия σ2, средняя μ и предельная ∆ ошибки выборочной средней
Дисперсия показателей численности персонала предприятий (по средним интервальным значениям численности рассчитывается по формуле:
σ2=S2-S2
где: S2- квадрат средней арифметической;
S2- средняя из квадратов показателей численности персонала.
S2=Si2fifi=25252820=12626,4
Дисперсия равна:
σ2=12626,4-1022=2222,4
Среднее квадратическое отклонение показателей численности персонала предприятий относительно среднего значения равно:
σ=σ2=2222,4≈47 чел.
Рассчитаем коэффициент вариации по формуле:
Vσ=σS∙100%=47102∙100%=46,2%
Поскольку коэффициент вариации, равный 46,2%, превышает 33,3%, следовательно, исследуемое распределение неоднородно и рассчитанное среднее не типично для всей совокупности.
Рассчитаем среднюю ошибку выборочной средней:
μ=σ2n(1-nN)
n – численность выборочной совокупности
N – численность генеральной совокупности (примем равной N=7410 из задания 1)
μ=2222,420(1-207410)≈10,5 чел.
Предельная ошибка выборочной средней уточняет среднюю ошибку на коэффициент вероятности ее возникновения:
∆=μ∙t
где t – коэффициент доверия или достоверности, выбранный или рассчитанный в задании 1.
∆=10,5∙1,77≈19 чел.
Определим доверительный интервал для генеральной средней:
S-∆≤S≤S+∆
102-19≤S≤102+19
83≤S≤121
Таким образом, с вероятностью 0,9242 можно утверждать, что средняя численность работников всех предприятий генеральной совокупности будет не менее 83 чел. и не превысит 121 чел.

1 Звезда2 Звезды3 Звезды4 Звезды5 Звезд (Пока оценок нет)
Загрузка...