Задана корреляционная таблица Найти 1) выборочное уравнение прямой yx-y=rвσyσxx-x регрессии Y на X 2) выборочное уравнение прямой xy-x=rвσxσyy-y регрессии X на Y проверить нулевую гипотезу о равенстве нулю генерального коэффициента корреляции при конкурирующей гипотезе H1

Задана корреляционная таблица. Найти:
1) выборочное уравнение прямой yx-y=rвσyσxx-x регрессии Y на X
2) выборочное уравнение прямой xy-x=rвσxσyy-y регрессии X на Y
проверить нулевую гипотезу о равенстве нулю генерального коэффициента корреляции при конкурирующей гипотезе H1:rг≠0 (уровень значимости α=0,05).
Y X ny

3 8 13 18 23 28
10 4 3 5

12
12
7 8

15
14

10 12

22
16

14 16
30
18

10 6 5 21
nx
4 10 23 36 22 5 100

Решение:

Найдем выборочные уравнения регрессии.
Найдем числовые характеристики выборки.
Объем выборки n=100.
Математические ожидания:
x=1nj=1nxxjnj=11003∙4+8∙10+13∙23+18∙36+23∙22+28∙5=16,85
x2=1nj=1nxxj2nj=110032∙4+82∙10+132∙23+182∙36+232∙22+282∙5=317,85
y=1ni=1nyyini=110010∙12+12∙15+14∙22+16∙30+18∙21=14,66
y2=1ni=1nyyi2ni=1100102∙12+122∙15+142∙22+162∙30+182∙21=221,56
xy=1ni=1nyj=1nxnijyixj=1100(4∙10∙3+3∙10∙8+5∙10∙13+7∙12∙8+8∙12∙13+
+10∙14∙13+12∙14∙18+14∙16∙18+16∙16∙23+10∙18∙18+6∙18∙23+
+5∙18∙28)=259,38
Средние квадратические отклонения:
σx=x2-x2=317,85-16,852=33,9275=5,8247
σy=y2-y2=221,56-14,662=6,6444=2,5777
Выборочный коэффициент корреляции находится по формуле
rв=xy-x∙yσx∙σy
Вычисляем:
rв=xy-x∙yσx∙σy=259,38-16,85∙14,665,8247∙2,5777=0,8232
Составим выборочные уравнения регрессий
yx-14,66=0,82322,57775,8247(x-16,85)

yx=0,36x+8,52
xy-16,85=0,82325,82472,5777(y-14,66)
xy=1,86y-10,42

При заданном уровне значимости проверяем нулевую гипотезу о равенстве нулю генерального коэффициента корреляции H0:rв=0 при конкурирующей гипотезе H1:rв≠0.
В качестве критерия проверки нулевой гипотезы принимаем случайную величину
T=rвn-21-rв2,
которая имеет распределение Стьюдента с k=n-2 степенями свободы.
Находим наблюдаемое значение критерия
Tнабл=0,8232100-21-0,82322=14,35
По условию конкурирующая гипотеза имеет вид H1:rв≠0, поэтому критическая область двусторонняя.
По уровню значимости α=0,05 и числу степеней свободы k=n-2=98 находим по таблице (Приложение 4) для двусторонней критической области критическую точку
tкр=(0,05; 98)=1,99
Поскольку Tнабл>tкр то нулевую гипотезу отвергаем, т.е. выборочный коэффициент корреляции значимо отличается от нуля и признаки X и Y коррелированы.
Построим графики уравнений регрессии на корреляционном поле.

1 Звезда2 Звезды3 Звезды4 Звезды5 Звезд (Пока оценок нет)
Загрузка...