Закон распределения дискретной случайной величины X задан в виде таблицы.
I. Найти: 1) математическое ожидание M(x); 2) дисперсию D(x) (два способа); 3) среднее квадратическое отклонение σx; 4) коэффициент вариации; 5) построить многоугольник распределения.
II. Составить интегральную функцию распределения. Построить график.
X 15 35 55 75 95
p 0,1 0,3 0,1 0,4 0,1
Решение:
1) Математическим ожиданием дискретной случайной величины называют сумму произведений всех ее возможных значений на их вероятности.
М(X)=x1p1+ x2p2+…+ xnpn
М(X)=i=1nxipi
МX=i=1nxipi=15*0,1+35*0,3+55*0,1+75*0,4+95*0,1=1,5+10,5+5,5+30+9,5=57
Дисперсией случайной величины X называют математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания:
D(X) = M(X2) – (M(X))2
D(X)= i=1nxi2pi – i=1nxipi2
DX= i=1nxi2pi – i=1nxipi2=152*0,1+352*0,3+552*0,1+752*0,4+952*0,1-572=3845-3249=596
D(X) = M(X2) – (M(X))2
Составим вспомогательную таблицу
X2
225 1225 3025 5625 9025
p
0,1 0,3 0,1 0,4 0,1
MX2=225*0,1+1225*0,3+3025*0,1+5625*0,4+9025*0,1=3845
DX= MX2- MX2=3845-572=3845-3249=596
Средним квадратическим отклонением случайной величины называют квадратный корень из дисперсии: σX=D(X)
σX=D(X)=596≈24,4
Коэффициент вариации:
v=σx*100%=24,457*100%=42,8
Многоугольник распределения
Найдем функцию распределения.
Если x≤15, то F(x)=0. Действительно, значений меньших числа 0, величина X не принимает. Следовательно, при x≤15 функция F(x)=P(X<x)=0.
Если 15<x≤35, то F(x)=0,1. Действительно, X может принимать значение 15 с вероятностью 0,1.
Если 35<x≤55, то F(x)=0,4. Действительно, X может принимать значение 15 с вероятностью 0,1 и значение 35 с вероятностью 0,3; следовательно, одно из этих значений, безразлично какое, X может принять (по теореме сложения вероятностей несовместных событий) с вероятностью 0,1+0,3=0,4.
Если 55<x≤75, то F(x)=0,5. Действительно, X может принимать значение 15 с вероятностью 0,1, значение 35 с вероятностью 0,3 и значение 55 с вероятностью 0,1; следовательно, одно из этих значений, безразлично какое, X может принять с вероятностью 0,1+0,3+0,1=0,5.
Если 75<x≤95, то F(x)=0,9. Действительно, X может принимать значение 15 с вероятностью 0,1, значение 35 с вероятностью 0,3, значение 55 с вероятностью 0,1, значение 75 с вероятностью 0,4; следовательно, одно из этих значений, безразлично какое, X может принять с вероятностью 0,1+0,3+0,1+0,4=0,9.
Если x>95, то F(x)=1. Действительно, событие X≤95 достоверно и вероятность его равна единице.
Искомая функция распределения имеет вид:
F(x)=0 при x≤15; 0,1 при 15<x≤35;0,4 при 35<x≤55;0,5 при 55<x≤75;0,9 при 75<x≤95;1 при x>95
График функции распределения:
F(x)
1
0,9
0,5
0,4
0,1
0 15 35 55 75 95
x
