Заменив неизвестные параметры генеральной совокупности соответственно их наилучшими выборочными оценками, по данным задачи 4, используя – критерий Пирсона, на уровне значимости проверить две гипотезы о том, что изучаемая случайная величина – величина выданных кредитов – распределена:
а)по нормальному закону распределения;
б)по равномерному закону распределения.
Построить на чертеже, где изображена гистограмма эмпирического распределения, соответствующие графики нормального и равномерного распределения.
Решение:
Выдвинем гипотезу о том, что распределение генеральной совокупности подчинено нормальному закону с параметрами и . Проверим эту гипотезу по – критерию Пирсона при уровне значимости . Составим расчетную таблицу:
Концы промежутков
9,7 -2,15 -0,5 -0,4842 0,0158 2,84
9,7 12,5 -2,15 -1,57 -0,4842 -0,4418 0,0424 7,63
12,5 15,3 -1,57 -0,98 -0,4418 -0,3365 0,1053 18,95
15,3 18,1 -0,98 -0,39 -0,3365 -0,1517 0,1848 33,26
18,1 20,9 -0,39 0,19 -0,1517 0,0753 0,2270 40,86
20,9 23,7 0,19 0,79 0,0753 0,2852 0,2099 37,78
23,7 26,5 0,79 1,38 0,2852 0,4162 0,1310 23,58
26,5 29,3 1,38 1,96 0,4162 0,4750 0,0588 10,58
29,3 32,1 1,96 2,55 0,4750 0,4947 0,0197 3,55
32,1 2,55 0,4947 0,5 0,0053 0,95
1 2,84 1,192
8 7,63 0,018
24 18,95 1,346
29 33,26 0,546
45 40,86 0,419
34 37,78 0,378
22 23,58 0,106
13 10,58 0,554
3 3,55 0,085
1 0,95 0,003
4,647
Наблюдаемое значение критерия Пирсона вычисляем по формуле:
.
Из таблицы критических значений при уровне значимости и числе степеней свободы находим . Поскольку , то при данном уровне значимости гипотеза о нормальном распределении генеральной совокупности принимается.
Выдвинем гипотезу о том, что распределение генеральной совокупности подчинено равномерному закону в интервале . Найдем значения параметров и :
,
.
Отсюда следует, что данная случайная величина не может быть распределена по равномерному закону, поскольку нижняя граница интервала больше минимального значения выборки и верхняя граница интервала меньше максимального значения выборки .
Вычислим значения теоретической плотности нормального распределения:
8,3 1 0,0019 -2,45 0,0198 0,0042
11,1 8 0,0159 -1,86 0,0707 0,0149
13,9 24 0,0476 -1,27 0,1781 0,0374
16,7 29 0,0575 -0,68 0,3166 0,0665
19,5 45 0,0893 -0,09 0,3973 0,0835
22,3 34 0,0675 0,49 0,3538 0,0743
25,1 22 0,0437 1,08 0,2227 0,0468
27,9 13 0,0258 1,67 0,0989 0,0208
30,7 3 0,0059 2,26 0,0310 0,0065
33,5 1 0,0019 2,85 0,0069 0,0014
Здесь – плотности относительных частот.
Строим на одном чертеже гистограмму относительных частот и график теоретической плотности нормального распределения:
