Для начала, рассмотрим силы, действующие на заряженную частицу. Магнитная сила (Флоренса) определяется по формуле F = qvB sin(θ), где q – заряд частицы, v – ее скорость, B – индукция магнитного поля, θ – угол между векторами v и B. В данной задаче заряженная частица движется по окружности радиусом R, поэтому угол θ между векторами v и B равен 90 градусов. Таким образом, магнитная сила не будет оказывать влияние на скорость частицы.
Теперь рассмотрим действие электрического поля. Сила, действующая на заряженную частицу в электрическом поле, равна F = qE, где E – напряженность электрического поля. Эта сила будет направлена вдоль радиуса окружности и будет изменять скорость частицы.
Пусть t – промежуток времени, в течение которого действует электрическое поле. За это время частица пройдет дугу окружности S = Rθ, где θ – угол, на который повернулась частица. Также, за это время, работа электрического поля будет равна ΔW = qESt, где ΔW – изменение кинетической энергии частицы.
Изменение кинетической энергии частицы равно работе, совершенной над ней, поэтому ΔW = ΔKE. Поскольку необходимо, чтобы кинетическая энергия возросла вдвое, то ΔW = KE_2 – KE_1 = m(v_2^2 – v_1^2)/2 = m[(v_2 – v_1)(v_2 + v_1)]/2 = mv_1(v_2 – v_1)/2. Здесь m – масса частицы, v_1 – начальная скорость частицы, v_2 – конечная скорость частицы.
Таким образом, уравнение для изменения кинетической энергии частицы принимает вид: ΔW = qESt = mv_1(v_2 – v_1)/2.
Используя выражение для дуги окружности S = Rθ, получаем: qERθt = mv_1(v_2 – v_1)/2.
Так как частица движется по окружности радиусом R с постоянной скоростью v_1, то v_1 = 2πR/T, где T – период обращения частицы по окружности.
Подставляя это значение в уравнение, получаем: qE(2πR/T)Rθt = m(2πR/T)(v_2 – 2πR/T)/2.
Сокращая общие множители, уравниваемые на обеих сторонах уравнения, получаем: qEθt = m(v_2 – 2πR/T)/2.
Из условия задачи следует, что кинетическая энергия должна возрастать вдвое, то есть v_2 = 2v_1. Подставляем это значение в уравнение, получаем: qEθt = m(2v_1 – 2πR/T)/2.
Учитывая, что v_1 = 2πR/T, получаем: qEθt = m(2(2πR/T) – 2πR/T)/2 = mπR^2/T.
Теперь можем выразить промежуток времени Δt: Δt = Tθt = (qERT)/(mπR^2).
Подставляя числовые значения из условия задачи (q = 1.6 * 10^-19 Кл, E = 100 В/м, R = 1 см = 0.01 м, Т = 2πR/v_1 = 2π * 0.01 / (2π * 0.01 / T) = T, m = 9.11 * 10^-31 кг), получаем:
Δt = (1.6 * 10^-19 Кл * 100 В/м * T * 0.01 м) / (9.11 * 10^-31 кг * π * (0.01 м)^2) = (1.6 * 10^-17 Н * Т * 0.01 м) / (9.11 * π) = 1.753 * 10^-3 с.
Таким образом, промежуток времени Δt, в течение которого должно действовать электрическое поле, для того чтобы кинетическая энергия частицы возросла вдвое, равен 1.753 * 10^-3 с.