ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ.
Построить интерполяционный многочлен Лагранжа для функции по узлам .
Решение.
Представим исходные данные в виде таблицы:
i 0 1 2
x 5 8 10
f(x) 40,23595 133,0843 230,2585
Запишем формулу для интерполяционного многочлена в форме Лагранжа.
Подставим табличные значения:
Построить интерполяционный многочлен Ньютона для функции из упражнения 1 с тем же набором узлов.
Для составления многочлена Ньютона, составим таблицу разделенных разностей.
Запишем формулу для интерполяционного многочлена Ньютона и подставим туда полученные значения:
Данные некоторого физического эксперимента представлены в таблице. Характер зависимости y(x) заранее точно неизвестен. Есть предположение, что зависимость может быть линейной или квадратичной. а) Методом наименьших квадратов построить два типа приближения y(x) (т.е. аппроксимирующие многочлены первой и второй степени) б) Для каждого приближения вычислить среднеквадратическое отклонение. в) Выбрать минимальное с.к.о. и указать соответствующий ему типа зависимости, т.е. наиболее вероятный в проведенном эксперименте.
i 0 1 2 3
0 1 2 3
4,1 3,3 2,3 1
Решение.
а) Нормальная система метода наименьших квадратов:
где m – степень многочлена.
Приблизим функцию многочленом 1-ой степени. Для этого вычислим коэффициенты нормальной системы уравнений:
Составим нормальную систему наименьших квадратов, которая имеет вид:
Таким образом, многочлен 1-ой степени найден:
Приблизим функцию многочленом 2-ой степени. Для этого вычислим дополнительно коэффициенты нормальной системы уравнений:
Составим нормальную систему наименьших квадратов, которая имеет вид:
Таким образом, многочлен 2-ой степени найден:
б) Для оценки погрешности требуется вычислить суммы квадратов отклонений исходных данных от этих линий и , меньшее значение соответствует линии, которая лучше в смысле метода наименьших квадратов аппроксимирует исходные данные.
в) т.к. , ему соответствует аппроксимирующий многочлен второй степени, то наиболее вероятно, что зависимость y(x) имеет квадратичный характер.
Интегрирование.
Получить (письменно) приближенное значение интеграла по квадратурной формуле сначала с шагом , а затем с шагом . Используя формулу Рунге, указать, насколько значение отличается от истинного значения интеграла .
Решение.
Представим начальные данные в виде таблицы:
i x(i-1) f(xi-1)
0 0
1 0,5 0,484123
2 1 1,732051
3
Тогда вычислим и :
Метод Рунге-Ромберга-Ричардсона позволяет получать более высокий порядок
точности вычисления. Пусть I – точное значение интеграла, – значение интеграла, вычисленного приближенно с шагом h, – значение того же интеграла, вычисленное для шага h/2. Можем записать:
где с – константа. Вычитая из первого уравнения второе, получаем соотношение, которое с точностью порядка позволяет вычислить значение главной части погрешности:
. Данная формула позволяет рассчитать абсолютную погрешность вычислений определенного интеграла с точностью до , т.е. можем записать:
Вычислим значение .
i x(i-1) f(xi-1)
0 0
1 0,25 0,12402
2 0,5 0,484123
3 0,75 1,042903
4 1 1,732051
5
Для формулы прямоугольников k=2. Подставляя значения, получим:
Т.к. то
Рассчитаем абсолютную погрешность. Для этого вычислим
i x(i-1) f(xi-1)
0 0
1 0,125 0,031189
2 0,25 0,12402
3 0,375 0,276262
4 0,5 0,484123
5 0,625 0,742123
6 0,75 1,042903
7 0,875 1,376928
8 1 1,732051
9
тогда
Известно, что интервалу принадлежит только корень уравнения. а) Построить итерационный процесс Ньютона и б) обосновать, какую из границ интервала можно принять за . В пункте б) выяснить знаки производных и и использовать соответствующую теорему.
Решение.
Начальное приближение должно удовлетворять следующему условию:
Вычислим
Тогда за начальное приближение примем . Результаты вычислений представим в таблице:
k xi
f(xi) f'(xi) |xi+1-xi|
0 0,8 -0,056499 -0,666667
1 0,715252 -0,010936 -0,430887 0,084748
2 0,689871 -0,000644 -0,381345 0,025381
3 0,688184 -0,000003 -0,37829 0,001688
4 0,688177 0,000000 -0,378278 0,000007
5 0,688177 0,000000 -0,378278 0,000000
Решение:
Для решения начальной (или краевой) задачи на отрезке предложена разностная схема. а) Определить, аппроксимирует ли данная разностная схема задачу. б) Если аппроксимация имеет место, то найти ее порядок. Использовать разложение в ряд Тейлора.
Решение.
Решение. Рассмотрим разностное уравнение
Представим теперь разложение в ряд Тейлора функции y в окрестности точки в правом и левом направлениях:
Получим центральную конечную разность
Полученная аппроксимация имеет ошибку, которая имеет вид:
Т.к. , то аппроксимация имеет место. Порядок аппроксимации равен 1.
