Дано статистическое распределение выборки (в первой строке указаны выборочные варианты , а во второй строке – соответствующие частоты количественного признака ):
46 51 56 61 66 71 76
4 6 10 45 15 13 7
Найти:
Выборочную среднюю, выборочную дисперсию, выборочное среднеквадратичное отклонение;
Доверительный интервал для оценки неизвестного математического ожидания с заданной надежностью .
Пользуясь критерием Пирсона, при уровне значимости 0,05 установить, согласуется ли гипотеза о нормальном распределении генеральной совокупности с данными выборки.
Решение:
Составим расчетную таблицу:
46 4 184 1075,84
51 6 306 779,76
56 10 560 409,6
61 45 2745 88,2
66 15 990 194,4
71 13 923 961,48
76 7 532 1294,72
100 6240 4804
Вычислим выборочную среднюю по формуле:
.
Найдем выборочную дисперсию по формуле:
.
Найдем выборочное среднеквадратичное отклонение по формуле:
.
Доверительный интервал для оценки генеральной средней нормального распределения с надежностью определяется формулой:
,
где – исправленное среднеквадратичное отклонение, значение параметра определяется из соответствующей таблицы с учетом доверительной вероятности и объема выборки : . Тогда получаем:
,
.
Выдвинем гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности с параметрами и . Проверим согласованность принимаемой гипотезы о нормальном распределении генеральной совокупности с эмпирическим распределением выборки, используя критерий Пирсона при уровне значимости 0,05. Рассчитываем теоретические частоты по формуле:
,.
Составим таблицу, в которую будем заносить необходимые данные:
46 4 -2,37 0,0241 1,74 2,935
51 6 -1,65 0,1023 7,38 0,258
56 10 -0,92 0,2613 18,85 4,155
61 45 -0,20 0,3910 28,21 9,993
66 15 0,52 0,3485 25,14 4,089
71 13 1,24 0,1849 13,34 0,009
76 7 1,96 0,0584 4,21 1,849
23,288
Наблюдаемое значение критерия Пирсона вычислим по формуле:
.
Из таблицы критических значений при уровне значимости 0,05 и числе степеней свободы находим . Поскольку , то при данном уровне значимости гипотеза о нормальном распределении генеральной совокупности отвергается.
