Даны координаты вершин пирамиды ABCD с вершиной в точке D. Найти:
а) площадь грани ABC;
б) объем пирамиды ABCD;
в) уравнения ребер AD и BD, указав координаты направляющих векторов;
г) уравнения граней АВС и ABD, указав координаты их нормалей;
д) длину высоты DK;
е) угол между плоскостью основания АВС и боковым ребром AD:
ж) угол между плоскостью основания АВС и боковой гранью ABD:
з) уравнение плоскости, проходящей через вершину D параллельно основанию ABC:
и) уравнение прямой, проходящей через точку С параллельно ребру AD:
к) уравнение прямой, проходящей через точку А перпендикулярно
плоскости основания ABC;
л) угол между боковыми ребрами AD и BD.
Решение:
а) площадь грани ABC
Определяем векторы
площадь грани определяем через векторное произведение
Вычисляем векторное произведение
б) объем пирамиды ABCD;
Объём пирамиды определяем по формуле смешанного произведения векторов:
в) уравнения ребер AD и BD, указав координаты направляющих векторов;
– этот вектор используем как направляющий,
– уравнение ребра AD
– направляющий вектор,
– уравнение ребра AD
г) уравнения граней АВС и ABD, указав координаты их нормалей;
АВС , в качестве нормального вектора берём, вектор параллельный векторному произведению
уравнение плоскости, проходящей через точку
ABD , в качестве нормального вектора берём, вектор равный векторному произведению
, уравнение плоскости, проходящей через точку
д) длину высоты DK;
это расстояние от точки до плоскости АВС,
е) угол между плоскостью основания АВС и боковым ребром AD:
Это угол между нормальным вектором
и вектором
ж) угол между плоскостью основания АВС и боковой гранью ABD:
Это угол между нормальными векторами этих плоскостей
АВС: , ABD: (определены ранее)
з) уравнение плоскости, проходящей через вершину D параллельно основанию ABC:
нормальный вектор тот же как и для АВС , точка
и) уравнение прямой, проходящей через точку С параллельно ребру AD:
Точка , направляющий вектор
– искомое уравнение
к) уравнение прямой, проходящей через точку А перпендикулярно
плоскости основания ABC;
точка , направляющий вектор = вектору нормали АВС
– искомое уравнение.
л) угол между боковыми ребрами AD и BD.
, – определены ранее
