Инвестор, располагающий суммой в 300 тыс. ден. ед., может вложить свой капитал в акции автомобильного концерна А и строительного предприятия В. Чтобы уменьшить риск, акций А должно быть приобретено на сумму по крайней мере в два раза большую, чем акций В, причем последних можно купить не более чем на 100 тыс. ден. ед. Дивиденды по акциям А составляют 8% в год, по акциям В — 10%. Какую максимальную прибыль можно получить в первый год?
Решение.
Введем обозначения:
х1 — инвестиции в акции концерна А.
х2 — инвестиции в акции строительного предприятия В.
Экономико-математическая модель задачи будет иметь вид:
Построим ОДР задачи:
Прямые ограничения означают, что область решений будет лежать в первой четверти Декартовой системы координат.
Функциональные ограничения определяют область, являющуюся пересечением нижних полуплоскостей с граничными прямыми:
I. (0;300) (300;0)
т.(0;0) – входит в ОДР;
II. (200; 100), (0;0).
т.(1;0) – входит в ОДР;
III. (0;100) прямая параллельная оси ОХ.
т.(0;0) – входит в ОДР.
00
Пересечение указанных полуплоскостей в первой четверти представляет собой треугольник АВСО (заштрихованная общая область для всех ограничений задачи ОДР).
Для определения направления движения к оптимуму построим вектор-градиент, соединив его вершину (0,08;0,1) с началом координат О (0;0).
Построим некоторую линию уровня 0,08х1+0,1х2=а.
Пусть, например, а = 0
(0;0) (100;-80)
Такой линии уровня отвечает прямая ОХ, перпендикулярная вектору-градиенту.
При максимизации ЦФ необходимо перемещать линию уровня ОХ в направлении вектора-градиента, а при минимизации – в противоположном направлении. Предельными точками при таком движении линии уровня ОХ являются соответственно точка В (максимум) и точка О (минимум). Далее она выходит из ОДР.
Определим координаты точки В, являющейся точкой пересечения всех прямых.
х1 = 200;
Таким образом, ЦФ в ЗЛП принимает при х1 = 100; х2 = 200 максимальное значение, равное f(х1,х2) = 0,08 х 100 + 0,1 х 200 = 28
Решение:
максимальная прибыль в первый год составит 28 тыс ден ед при инвестировании в акции концерна А 100 тыс ден ед, и в акции строительного предприятия В 200 тыс ден ед.
