Найти общее решение в зависимости от значения параметра . При каких значениях параметра допускает решение с помощью обратной матрицы?
Решение.
Метод Гаусса заключается в исключении неизвестных посредством эквивалентных преобразований системы уравнений. Но вместо системы уравнений в преобразованиях используют расширенную матрицу системы (прямой ход Гаусса). После приведения матрицы к трапециевидной форме возвращаются к системе уравнений и находят все неизвестные (обратный ход Гаусса).
Элементарные преобразования:
– перестановка строк;
– умножение строки на любое число отличное от нуля;
– линейная комбинация строк;
– вычеркивание нулевых строк.
Запишем расширенную матрицу системы и произведем элементарные преобразования системы: .
Поменяем местами 1-ю и 2-ю строки:
.
Прибавим 1-ю строку, умноженную на (-3) ко 2-й:
Прибавим 1-ю строку, умноженную на (-2) к 3-й:
.
Поменяем местами 2-ю и 3-ю строки
.
Прибавим 2-ю строку, умноженную на (-2) к 3-й:
.
Вернемся к эквивалентной системе уравнений: .
Тогда можем утверждать, что если , то система не имеет решений, так как третье уравнение примет вид , что невозможно.
Рассмотрим вариант , тогда тоже рассмотрим варианты:
1. и 2. .
1.Пусть , тогда система примет вид, то есть система имеет бесконечно много решений и общее решение имеет вид: .
2. Пусть , тогда система примет вид
, то есть при и система имеет единственное решение .
Система допускает решение с помощью обратной матрицы только в случае, если ее определитель отличен от нуля.
Вычислим определитель данной системы и найдем , при которых .
.
Имеем . Система допускает решение с помощью обратной матрицы в случае если и .
Решение:
при , то система не имеет решений, при система имеет бесконечно много решений и общее решение имеет вид: , при и система имеет единственное решение .
Система допускает решение с помощью обратной матрицы в случае если и .
