Найти решение уравнения теплопроводности , , , удовлетворяющее краевым условиям и начальным условиям . Ответ записать в виде ряда Фурье. При значении вычислить первые три ненулевых коэффициента полученного ряда с точностью . Вычислить исходной задачи при , , , , заменяя ряд Фурье частичной суммой из первых трех ненулевых слагаемых. На одном чертеже построить график начального условия и вычисленной функции .
Решение:
Используем метод Фурье. Ищем решение данного уравнения в следующем виде:
,
,
,
.
Найдем коэффициент :
.
Найдем коэффициенты :
.
Найдем коэффициенты :
.
Тогда общее решение имеет вид:
.
Поскольку , то искомое решение имеет вид:
.
Вычислим при значении первые три ненулевых коэффициента полученного ряда с точностью :
,
,
,
,
.
Вычисленные коэффициенты записаны именно в таком виде потому, что множители, пропорциональные экспонентам, являются очень маленькими, и с учетом заданной по условию задачи точности они все равны нулю.
Тогда функция имеет вид:
.
Вычислим значения исходной задачи при , , , , заменяя ряд Фурье частичной суммой из первых трех ненулевых слагаемых:
,
,
,
.
На одном чертеже построим график начального условия (синяя линия) и вычисленной функции (красная линия):
