Стрелок поражает цель с вероятностью p.
С какой вероятностью в серии из n выстрелов он поразит мишень.
а) ровно k раз; б) хотя бы один раз; в) не менее m раз.
Найти наивероятнейшее число попаданий и соответствующую ему вероятность.
Стрелком при тех же условиях совершает серия из N выстрелов.
Найти вероятность того, что: а) попаданий будет ровно половина; б) число попаданий будет не менее k1 и не более k2 раз.
Решение:
p=0,9;n=6;k=4;m=5;N=30;k1=25;k2=29
1.а) A – событие, что стрелок поразит мишень ровно 4 раза; P(A) – вероятность того, что стрелок поразит мишень ровно 4 раза по формуле Бернулли;
q=1-p=1-0,9=0,1 вероятность того, что стрелок промахнулся.
PA=Cnkpkqn-k=C64∙0,94∙0,12=6!4!6-4!∙0,94∙0,12=0,098415≈0,098
1.б) В – событие, что стрелок поразит мишень хотя бы один раз; P(B) – вероятность того, что стрелок поразит мишень хотя бы один раз по формуле Бернулли;
PB=i=1nCnipiqn-i=i=16C6i0,9i0,16-i=0,999999
1.в) C – событие, что стрелок поразит мишень не менее 5 раз; P(C) – вероятность того, что стрелок поразит мишень не менее 5 раз по формуле Бернулли;
PC=i=mnCnipiqn-i=i=56C6i0,9i0,16-i=0,885735
D – событие, наивероятнейшее число попаданий стрелка. Найдем наивероятнейшее число попаданий. Для этого составим неравенство:
p∙n-q≤k’≤p∙n+p, где k’ -наивероятнейшее число попаданий,натуральное число.
0,9∙6-0,1≤k’≤0,9∙6+0,9⟹5,3≤k’≤6,3⇒k’=6
PD=Cnk’pk’qn-k’=C660,960,10=6!6!0!0,960,16=0,531441
2.а) А – событие, что попаданий будет ровно половина. Воспользуемся локальной теоремой Лапласа, чтобы вычислить вероятность события А.
PA≈1Npqφ(x)
где φx=12π∙e-x22; x=m-NpNpq; N=30;m=N2=15;p=0,9;q=1-p=0,1
PA=130*0,9*0,1*12π∙e-15-30*0,930*0,9*0,122=6,368∙10-13
2.б) B – событие, что число попаданий будет не менее 25 и не более 29 раз
Pm1≤m≤m2≈Фx2-Фx1
где
Фx=12π0xe-z22dz, x2=m2-NpNpq;x1=m1-NpNpq
(Интегральная функция Лапласа)
P25≤m≤29=Ф29-30*0,930*0,9*0,1-Ф25-30*0,930*0,9*0,1=0,7737
