является неоднородной гиперболического типа с однородными граничными условиями.
Разобьем исходную задачу на однородную и неоднородную вспомогательные задачи: , где
Решаем задачу I методом Фурье. Положим
.
Вычислив производные и, подставив их в уравнение, получим
или .
Последнее равенство выполняется только в том случае, если обе части его не зависят ни от х, ни от t, т.е. представляют собой одну и ту же постоянную, которую обозначим за , т.е.
.
Отсюда получаем два обыкновенных однородных линейных уравнений второго порядка
и
.
Для того чтобы получить не равные нулю решения, удовлетворяющие граничным условиям, необходимо найти нетривиальные решения, удовлетворяющие граничным условиям
.
Воспользовавшись ими, получаем
Получаем задачу Штурма-Лиувилля:
Решаем ее.
Составим характеристическое уравнение: . Его решения: .
Рассмотрим 3 различных случая.
1) λ<0.
В этом случае и общее решение уравнения имеет вид
, откуда
Подставляя граничные условия, получим систему
.
Определитель системы:
Значит, С1=С2=0 и задача Штурма-Лиувилля в данном случае имеет только нулевое решение.
2) λ=0.
В этом случае и общее решение уравнения имеет вид
, откуда
Подставляем граничные условия:
.
Пусть С2=С=const, получаем решение:
.
3) λ >0.
В этом случае и общее решение уравнения имеет вид
, откуда
.
Подставляем граничные условия:
Система будет иметь ненулевое решение, если С1≠0, .
Отсюда
.
Получили собственные значения. Тогда
– собственные функции.
Объединяя решения всех трех случаев, получаем собственные значения и собственные функции
Для функции Т(t) получаем:
Характеристическое уравнение имеет вид:
Получаем решение
.
Таким образом, решение задачи I имеет вид:
.
Тогда
Подставляем начальные условия:
В силу линейной независимости функций из первого уравнения системы следует, что
.
Со второго уравнения получаем:
.
Таким образом, решение задачи I будет иметь вид:
.
Решение задачи II ищем в виде ряда по собственным функциям вспомогательной задачи, т.е.
.
Имеем
Подставляем в исходное уравнение:
(1)
Функция в правой части уже разложена в ряд по степеням .
Полученное выражение (2) дает нам дифференциальные уравнения:
Решаем уравнение (2). Это линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами.
Характеристическое уравнение:
.
Тогда
. (4)
Отсюда
.
Подставляем начальные условия:
Отсюда .
Значит,
.
Решаем уравнение (3). Это линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами.
Решаем соответствующее однородное уравнение. Характеристическое уравнение:
.
Тогда
.
Частное решение ищем в виде:
.
Тогда
Подставляем в уравнение (3):
Значит,
.
Тогда общее решение уравнения (3) имеет вид:
.
Отсюда
Подставляем начальные условия:
Отсюда .
Значит,
.
Решение задачи II имеет вид:
Итак, решение исходной задачи имеет вид:
Решение:
Литература
Тихонов, А.Н. и др Уравнения математической физики: Учебное пособие для университетов. / А.Н.Тихонов, А.А.Самарский – М.: Наука, 1977. – 735с.
Кошляков, Н.С. и др. Уравнения в частных производных математической физики: Учебное пособие для университетов. –М.: Высшая школа, 1970. –710с.
Мартинсон, Л.К. и др. Дифференциальные уравнения математической физики: Учебник для студентов вузов/ Л.К. Мартинсон, Малов Ю.И. Под ред. В.С. Зарубина, А.П. Крищенко. – М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 1996.- (Сер. Математика в техническом университете; Вып. XII).
Сборник задач по уравнениям математической физики: Учебное пособие/ Под ред. В.С. Владимирова. –М.: Наука. 1974. –272с.
Курант Р. Уравнения с частными производными/ Под ред. О.А. Олейник. – М.: Мир, 1964. –832с.
Стеклов В.А. Основные задачи математической физики/ Под ред. В.С. Владимирова. –2-е изд. –М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1983. –432с.
Михлин С.Г. Курс математической физики. –М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1968. –576с.
Смирнов М.М. Задачи по уравнениям математической физики: Учебное пособие. –М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1968. –112с.
