Задать начальную точку и выполнить четыре шага градиентным методом с постоянным шагом.
3. Задать начальную точку и выполнить один шаг методом Ньютона.
Значения коэффициентов a11, a12, a22, b1, b2 приведены в таблице, где n – номер студента по списку.
Номер по списку a11 a12 a22 b1 b2
1 n < 10 1 –1 2 n 2n
10 n < 20 2 1 3 3n –n
20 n < 30 3 1 2 –2n n
30 n < 40 2 –1 1 –n 2n
Решение:
. Задана функция f(x1, x2) = .
Найдем частные производные:
;
.
Запишем необходимые условия экстремума:
откуда координаты стационарной точки:
Найдем вторые частные производные:
;
;
;
.
Составим матрицу Гессе:
.
Определим характер стационарной точки, используя критерий Сильвестра:
1 = = 2 > 0;
2 = det H(X) = = 24 – (–1)(–1) = 8 – 1 = 7 > 0.
Т.к. все главные миноры матрицы положительны, то матрица Гессе является положительно-определенной и точка (x1; x2) = (–54/7; –45/7) является точкой локального минимума функции.
Вычислим значение функции в точке локального минимума:
fmin = f(–54/7; –45/7) =
= =
= .
Итак, в точке функция достигает локального минимума, значение которого равно fmin = f(–54/7; –45/7) = –92,57.
2. Зададим начальную точку X0 = (0; 0)T и выполним четыре итерации методом градиентного спуска постоянным шагом t = 0,25.
Градиент функции:
.
Итерация 0:
Итерация 1:
Итерация 2:
Итерация 3:
Итерация 4:
Представим вычисления в виде таблицы
k x1 x2 t ∂f/∂x1 ∂f/∂x2 ||f(X)|| f(X)
0 0,00 0,00 0,25 9,00 18,00 20,12 0,00
1 -2,25 -4,50 0,25 9,00 2,25 9,28 -65,81
2 -4,50 -5,06 0,25 5,06 2,25 5,54 -82,90
3 -5,77 -5,63 0,25 3,09 1,27 3,34 -89,05
4 -6,54 -5,94 0,25 1,86 0,77 2,02 -91,29
3. Зададим начальную точку X0 = (0; 0)T и выполним один шаг методом Ньютона.
Итерация 0:
, ,
, .
Итерация 1:
Вычислим точку по формуле:,
где – матрица, обратная к матрице Гессе .
Т.к. = det H(X0) = = 24 – (–1)(–1) = 8 – 1 = 7, то
.
Тогда
.
–92,57.
.
.
Т.к. норма градиента , то – стационарная точка функции и вычисления закончены.
