Даны выборочные значения спроса yi на некоторый товар и дохода xi покупателей.
i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
xi 18 10 8 18 7 6 9 8 9 7
yi
48 28 22 50 15 10 21 23 23 20
1) Построить поле корреляции, то есть совокупность точек с координатами (xi; yi) , i=1;…;n в системе координат (X;Y) .
С помощью МНК найти точечные оценки параметров a и b модели парной линейной регрессии Y на X и выборочное уравнение регрессии y=a+bx. Построить регрессионную прямую y =a+bx на том же графике, что и поле корреляции.
2) Найти коэффициент детерминации R2 и выборочный коэффициент корреляции rxy .
3) Проверить гипотезу о значимости модели парной линейной регрессии путем проверки статистической значимости коэффициента детерминации R2 на уровне значимости =0,05 .
4) Проверить соответствие ряда остатков нормальному закону распределения с доверительной вероятностью = 0,95.
5) Найти доверительные интервалы для параметров и модели парной линейной регрессии с доверительной вероятностью = 0,95.
6) Проверить статистическую значимость оценок b и a параметров и на уровне значимости =0,05.
7) Выполнить точечный прогноз y0 зависимой переменной Y при значении объясняющей переменной X = x0= xmax+ 5, где xmax – максимальное выборочное значение X .
8) Выполнить интервальный прогноз условного математического ожидания (среднего значения) M(Y | x0) с доверительной вероятностью = 0,95 при условии X = x0= xmax+ 5, где xmax – максимальное выборочное значение X .
9) Выполнить интервальный прогноз индивидуального значения Y с доверительной вероятностью = 0,95 при X = x0= xmax+ 5, где xmax – максимальное выборочное значение X .
Решение:
) Построим поле корреляции
Рис. 1 Поле корреляции
С помощью МНК найдем точечные оценки параметров a и b модели парной линейной регрессии Y на X и выборочное уравнение регрессии y=a+bx. Для расчетов составим таблицу
Таблица 1 – Расчет показателей регрессии
№ хi
уi
хi2 yi2 xiy ŷ (у- ŷ)2
1 18 48 324 2304 864 49,488 2,215
2 10 28 100 784 280 26,000 4,000
3 8 22 64 484 176 20,128 3,505
4 18 50 324 2500 900 49,488 0,262
5 7 15 49 225 105 17,192 4,804
6 6 10 36 100 60 14,256 18,112
7 9 21 81 441 189 23,064 4,260
8 8 23 64 529 184 20,128 8,249
9 9 23 81 529 207 23,064 0,004
10 7 20 49 400 140 17,192 7,886
100 260 1172 8296 3105 260 53,297
ср 10 26 117,2 829,6 310,5
2 4,147 12,394
17,2 153,6
Средние величины:
=2,936
=-3,36
Получаем уравнение: ŷ=-3,36+2,936х
Таким образом, при росте дохода на 1 ден. ед. спрос увеличивается на в среднем 2,936 ед.
Построим регрессионную прямую y =a+bx на том же графике, что и поле корреляции.
Рис.2 Уравнение регрессии
2) Найдем выборочный коэффициент корреляции
Предварительно найдем дисперсии:
Коэффициент корреляции близок к 1 и положителен, между доходом и спросом сильная прямая связь.
Коэффициент детерминации R2=rxy2=0.9822=0.965 – следовательно 96,5% вариации спроса обусловлено изменениями дохода.
3) Проверим гипотезу о значимости модели парной линейной регрессии:
По таблице распределения Фишера находим
.
Fфакт>Fтабл – уравнение значимо
4) Проверим соответствие ряда остатков нормальному закону распределения с доверительной вероятностью = 0,95.
Для проверки используем R/S критерий.
В соответствии с этим критерием вычислим по формуле статистику
R/S=
emax– максимальный уровень ряда остатков;
emin– минимальный уровень ряда остатков;
S(e)– среднеквадратическое отклонение ряда остатков.
Таблица 2 – Определение остатков и среднеквадратического отклонения
№ хi
уi
ŷ ei= уi- ŷi ei2
1 18 48 49,488 -1,488 2,215
2 10 28 26,000 2,000 4,000
3 8 22 20,128 1,872 3,505
4 18 50 49,488 0,512 0,262
5 7 15 17,192 -2,192 4,804
6 6 10 14,256 -4,256 18,112
7 9 21 23,064 -2,064 4,260
8 8 23 20,128 2,872 8,249
9 9 23 23,064 -0,064 0,004
10 7 20 17,192 2,808 7,886
100 260 260 0,000 53,297
Получим: R/S = = 2.930
По таблице критических границ отношения R/S определим критический интервал для уровня значимости 0,05 и n=10: (2,67; 3,69). Сопоставим фактическую величину R/S с критическим интервалом: 2.93(2.67;3.69), значит, для построенной модели свойство нормального распределения остаточной компоненты выполняется.
5) Найдем доверительные интервалы для параметров и модели парной линейной регрессии с доверительной вероятностью = 0,95.
Ошибка уравнения регрессии:
=
Случайные ошибки параметров линейной регрессии:
mb=
ma== 2.131
Для расчета доверительного интервала определяем предельную ошибку для каждого показателя:
, .
где табличное значение t-статистики t(0.05;10-2)=2.306
a=2.3062.131=4.914
b=2.3060,197=0,454
Доверительные интервалы имеют вид:
(-3,360-4,914; -3,360+4,914)=( -8,274; 1,554)
(2,936-0,454; 2,936+0,454)=( 2,482; 3,390)
6) Проверим статистическую значимость оценок b и a параметров и на уровне значимости =0,05.
Рассчитаем значение t-статистики
=-1,577
Табличное значение t-статистики t(0.05;8)=2.306
Сравнивая фактическое и критическое (табличное) значения t-статистики – tтабл и| tфакт| – принимаем или отвергаем гипотезу Н0 о равенстве нулю коэффициента регрессии
Для а: tтабл>|tфакт| – гипотеза о случайной природе коэффициента регрессии не отклоняется – коэффициент не значим
Для b: tтабл<|tфакт|, гипотеза о случайной природе коэффициента регрессии отклоняется – коэффициент значим
7) Выполним точечный прогноз
x0= xmax+ 5=18+5=23
у0= -3,360+2,93623=64,17
8) Выполним интервальный прогноз условного математического ожидания (среднего значения) M(Y | x0) с доверительной вероятностью = 0,95 при условии x0= 23
Ошибка прогноза:
,
Строим доверительный интервал с заданной доверительной вероятностью :
,
,
57,98.70,36.
Таким образом, с вероятностью 95% можно утверждать, что условное математическое ожидание М(Y|x=23) составит от 57.98 до 70,36.
9) Выполним интервальный прогноз индивидуального значения Y с доверительной вероятностью = 0,95 при X = x0= 23
,
Строим доверительный интервал с заданной доверительной вероятностью :
,
,
55,5872,76 руб.
Таким образом, с вероятностью 95% можно утверждать, что при доходе х=2 спрос в среднем составит с вероятностью 95% от 55,58 до 72,76.
