С использованием метода максимального правдоподобия для случайной выборки Xn=X1,…,Xn из генеральной совокупности X найти точечную оценку параметра заданного закона распределения. Вычислить выборочные значения найденных оценок для выборки x5=x1,…,x5
8. fx=θ76!x6e-θx,x>0; x5=5, 10, 15, 17, 4
Решение:
В основе метода лежит функция правдоподобия, имеющая вид:
Lx1,x2,..,xn,θ=ifxi,θ, для непрерывных величинip(xi,θ), для дискретных величин
Оценки по методу правдоподобия получаются из необходимого условия экстремума функции Lx1,x2,..,xn,θ (т.е. все частные производные в точке равны нулю). Характеристика объектов генеральной совокупности является случайной величиной и имеет распределение:
fx=θ76!x6e-θx
Строим функцию максимального правдоподобия:
Lx1,x2,..,x5,θ=iθ76!xi6e-θxi
Отбрасываем множители, не зависящие от θ, и рассматриваем логарифмическую функцию правдоподобия:
lx,θ=lniθ7e-θxi =n*7lnθ+i-θxi=35lnθ-θixi
Составляем уравнение правдоподобия для θ – оценки параметра θ:
∂∂θlx,θθ=θ=35θ-ixi=0
Т.е.:
35θ=ixi θ=35ixi
Получаем:
θ=355+10+15+17+4=3551
Находим значение второй производной:
∂2∂θ2lx,θθ=θ=-35θ2<0
При θ=3551 значение второй производной меньше 0, значит функция lx,θ в данной точке достигает своего максимума
Получили следующую точечную оценку параметра: θ=3551.
