Компоненты и сезонная декомпозиция временного ряда

Уровни временного ряда являются суммой двух составляющих:

1. систематической (детерминированной, регулярной)
2. случайной (нерегулярной, непредсказуемой), не зависящей от времени

Регулярная составляющая, в общем случае, может складываться из тренда, циклической компоненты и сезонной компоненты. Однако, регулярная составляющая не обязательно должна включать все три компоненты.

Случайная (нерегулярная) компонента. Экономисты разделяют факторы, под действием которых формируется нерегулярная компонента, на 2 вида:

1. факторы резкого, внезапного действия;
2. текущие факторы.

Первый тип факторов (например, стихийные бедствия, эпидемии и др.), как правило, вызывает более значительные отклонения по сравнению со случайными колебаниями — иногда такие отклонения называют катастрофическими колебаниями.

Факторы второго типа вызывают случайные колебания, являющиеся результатом действия большого числа побочных причин. Влияние каждого из текущих факторов незначительно, но ощущается их суммарное воздействие.

Цель сезонной декомпозиции и корректировки временного ряда состоит в том, чтобы разложить ряд на составляющие: тренд, сезонную компоненту и нерегулярную составляющую.

В общем случае временной ряд можно представить  из четырех различных компонент:

1. сезонной компоненты (обозначается S_t, где t обозначает момент времени)
2. тренда (T_t)
3. циклической компоненты (C_t)
4. случайной, нерегулярной компоненты  (E_t)

Разница между циклической и сезонной компонентой состоит в том, что последняя имеет регулярную (сезонную) периодичность, тогда как циклические факторы обычно имеют более длительный эффект, который, к тому же, меняется от цикла к циклу. Тренд и циклическую компоненту обычно объединяют в одну тренд-циклическую компоненту (T_tC_t) (для простоты обозначений далее T_tC_t—>T_t). Конкретные функциональные взаимосвязи между этими компонентами могут иметь самый разный вид. Однако можно выделить два основных способа, с помощью которых они могут взаимодействовать –  аддитивно и мультипликативно:

• Аддитивная модель:                       У_t   = TC_t + S_t + E_t
• Мультипликативная модель:       У_t  = T_t*C_t*S_t*E_t
• Модель смешанного типа:             У_t  = T_t*C_t*S_t+E_t

Выбор  одной  из  трех  моделей  осуществляется  на  основе  анализа структуры  сезонных  колебаний.  Если  амплитуда  колебаний  приблизительно постоянна,  строят  аддитивную  модель  временного  ряда,  в  которой  значения сезонной  компоненты  предполагаются  постоянными  для  различных  циклов. Если  амплитуда  сезонных  колебаний  возрастает  или  уменьшается,  строят мультипликативную  модель  временного  ряда,  которая  ставит  уровни  ряда  в зависимость от значений сезонной компоненты. Построение  аддитивной  и  мультипликативной  моделей  сводится  к расчету значений T ,  S  и  E  для каждого уровня ряда. Процесс построения модели включает в себя следующие шаги:

1. Выравнивание исходного ряда методом скользящей средней.
2. Расчет значений сезонной компоненты  S .
3. Устранение  сезонной  компоненты  из  исходных  уровней  ряда  и получение  выровненных  данных  ( Y — S=T + E )  в  аддитивной  или  (Y : S=T * E )  в мультипликативной модели.
4. Аналитическое  выравнивание  уровней  (T + E)  или  (T * E)  и расчет значений T  с использованием полученного уравнения тренда.
5. Расчет полученных по модели значений (T + E) или (T * E).
6. Расчет  абсолютных  и/или  относительных  ошибок. Если из временного ряда удалить тренд (T_t) и периодические составляющие (C_t и S_t), то останется нерегулярная компонента (E_t), так называемая, ошибка. Если полученные  значения  ошибок  не  содержат  автокорреляции,  ими  можно заменить исходные уровни ряда и в дальнейшем использовать временной ряд ошибок  (E_t)   для  анализа  взаимосвязи  исходного  ряда  и  других  временных рядов.

Скользящее среднее

Прежде, чем рассчитывать сезонную компоненту (S), исходный временной ряд необходимо выровнять. Для этого применяются методы механического выравнивания, к которым относятся:

1. метод скользящих средних;
2. метод экспоненциального сглаживания;
3. метод медианного сглаживания и др.

Вычисляя скользящее среднее для временного ряда, интервал сглаживания (ширина окна) берется равным периоду сезонности. Если период сезонности — четное число,  можно выбрать одну из двух возможностей:

1. в случае взвешенного скользящего среднего, брать скользящее среднее с одинаковыми весами или же с неравными весами так, что первое и последнее наблюдения в окне имеют усредненные веса.
2. в случае простого скользящего среднего, необходимо провести процедуру центрирования, которая заключается в повторном скольжении с шагом, равным двум. Число уровней сглаженного ряда будет меньше на величину шага скользящей средней.

После определения скользящих средних вся сезонная (т.е. внутри сезона) изменчивость будет исключена и поэтому разность (в случае аддитивной модели) или отношение (для мультипликативной модели) между наблюдаемым (Y_i) и сглаженным рядом (Ŷ_t) будет выделять сезонную составляющую плюс нерегулярную компоненту.

Таким образом, результатом процедуры сглаживания будет временной ряд выровненных значений Ŷ_t, не содержащий сезонной компоненты. То есть: ряд скользящих средних вычитается из наблюдаемого ряда (Y_i-Ŷ_t) (в аддитивной модели) или же значения наблюдаемого ряда делятся на значения скользящих средних (Y_i:Ŷ_t) (в мультипликативной модели).

Сезонная составляющая

На следующем шаге вычисляется сезонная составляющая, как среднее (для аддитивных моделей) или урезанное среднее (для мультипликативных моделей) всех значений ряда, соответствующих данной точке сезонного интервала по аналогичным временным периодам, с последующей сезонной корректировкой ряда. 

Если временной ряд представлен аддитивной моделью, то в качестве сезонной компоненты (составляющей) используется показатель абсолютного отклонения – S_Δi (S—>S_Δi). Сумма всех сезонных компонент, т.е. показателей абсолютных отклонений S_Δi должна быть равна нулю.

Если временной ряд представлен мультипликативной моделью, то в качестве сезонной компоненты используется индекс сезонности – I_si (S—>I_si). Среднее всех сезонных компонент, т. е. индексов сезонности I_si, должно быть равно единице.

Обычно сумма индексов се­зонности хотя и незначительно, но отличается от 4 (для четырех кварталов сумма индексов должна быть равна 4, для года — 12, а их средняя рав­на 1,00), то для устранения этих расхождений определяется попра­вочный коэффициент как отношение теоретической суммы ин­дексов (4,0) к фактической величине их суммы.

Показатель абсолютного отклонения в i-том сезоне рассчитывается как среднее арифметическое из отклонений фактического и выровненного уровней временного ряда:

Индекс сезонности в i-том сезоне рассчитывается как среднее арифметическое из отношений фактического уровня временного ряда к выровненному:

Если, при построении аддитивной модели временного ряда, сумма всех абсолютных отклонений не равна нулю, то рассчитываются скорректированные значения сезонных компонент по формуле:

где L – общее количество сезонных компонент ( уровни временного ряда могут быть представлены в виде квартальных показателей, либо детализированы по месяцам за весь временной отрезок). При этом, для определения среднего значения отклонений для соответствующего периода, все отклонения необходимо сгруппировать (соответственно, по аналогичным кварталам или месяцам каждого года) и только потом определить среднюю величину отклонений, на которую и будет произведена корректировка. В  мультипликативной модели это выражается  в  том,  что  сумма  значений  сезонной  компоненты  по  всем кварталам должна быть равна числу периодов в цикле. В случае с поквартальным представлением уровней временного ряда, число периодов одного цикла равно 4.

Уровни исходного временного ряда корректируются на величину сезонной компоненты следующим образом:

1) для аддитивной модели: из исходных уровней вычитаются скорректированные показатели абсолютных отклонений

S_Δi (S—>S_Δi) (У_t=T_tC_t+S_t+E_t отсюда: Y — S_Δ^скорр.=T+E)

2) для мультипликативной модели: уровни исходного временного ряда делятся на скорректированные индексы сезонности

I_si (S—>I_si) (У_t=T_t*C_t*S_t*E_t отсюда: Y : I_s^скорр.=T*E)

(Смотри на примере: Сезонная корректировка временного ряда)

На следующем этапе построения модели временного ряда осуществляется расчёт трендовой компоненты с помощью метода аналитического выравнивания функциями времени y=f(t) или кривыми роста. Данный метод выравнивания применяют не к исходному временному ряду, а к временному ряду с исключённой сезонной компонентой. Эти значения рассчитываются за каждый момент времени и содержат только тенденцию (T) и случайную компоненту (E).

Тренд-циклическая компонента

Циклическая компонента отличается от сезонной компоненты тем, что продолжительность цикла больше, чем один сезонный период (год) и разные циклы могут иметь разную продолжительность. Периодическая компонента рассматривается как долговременное колебательное изменение уровней — долгопериодическая функция. Примерами долговременной циклической компоненты могут служить демографические, инвестиционные и другие циклы;  соответствующая реакция экономики страны, находящейся в определенной фазе своего развития: I – фаза кризиса; II – фаза депрессии; III – фаза оживления; IV – фаза подъема и стабилизации. Теория циклического развития создает основу для преодоления экстраполяционных подходов в построении прогнозов, для достоверного учета нелинейности экономической динамики. Ориентация на цикличный характер развития способствует верному выявлению и отражению в прогнозах предстоящих критических или поворотных точек в трендовом движении.

В качестве справки: Типы цикличности

 Случайная или нерегулярная компонента

На последнем шаге выделяется случайная или нерегулярная компонента (погрешность, шум, ошибка) путем вычитания из ряда с сезонной поправкой (аддитивная модель) или делением этого ряда (мультипликативная модель) на тренд-циклическую компоненту.

Выбросы

Большинство реальных временных рядов содержат выбросы, то есть резко выделяющиеся наблюдения, вызванные какими-то исключительными событиями. Такие выбросы могут исказить оценки сезонной компоненты и тренда. Должны быть предусмотрены корректировки на случай появления выбросов, основанные на использовании «принципов статистического контроля», т.е. значения, выходящие за определенный диапазон (который определяется в терминах, кратных сигма, т.е. стандартных отклонений), могут быть преобразованы или вовсе пропущены, и только после этого будут вычисляться окончательные оценки параметров сезонности.

Простое экспоненциальное сглаживание

Простая  модель временного ряда имеет следующий вид: У_t = b + ε_t, где b – константа, ε (эпсилон) — случайная ошибка. Константа b относительно стабильна на каждом временном интервале, но может также медленно изменяться со временем. Один из интуитивно ясных способов выделения b состоит в том, чтобы использовать сглаживание скользящим средним, в котором последним наблюдениям приписываются большие веса, чем предпоследним, предпоследним большие веса, чем пред-предпоследним и т.д. Простое экспоненциальное именно так и устроено. Здесь более старым наблюдениям приписываются экспоненциально убывающие веса, при этом, в отличие от скользящего среднего, учитываются все предшествующие наблюдения ряда, а не те, что попали в определенное окно. Точная формула простого экспоненциального сглаживания имеет следующий вид:   S_t =  α*У_t + (1-α )*S_t-1
Из формулы следует, что α  должно попадать в интервал между 0 — 1. На практике, обычно, рекомендуется брать α меньше 0.30. Однако в исследованиях α большее 0.30, часто дает лучший прогноз. Для прогнозирования предпочтительнее экспоненциальное сглаживание, позволяющее учитывать сезонную составляющую и тренд.